Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos
de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

Teorema 4

Sea f una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable en todo punto del intervalo abierto . Sea c en tal que o no existe. a. Si es positiva para todo , y negativa para todo , entonces es un valor máximo relativo de . b. Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces es un mínimo relativo de . c. Si es positiva para todo y también lo es para todo ; o si es negativa para todo y a su vez para todo , entonces no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de .

Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.

1) Halla f’(x) (la derivada de f).

2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).

3) Evalua cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.

4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.

5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).

6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

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Fuentes:https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html 
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/aplic.htm

 

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