Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

La segunda derivada, igual que la primera derivada, proporciona información acerca del comportamiento de una función y su grafica.

DEFINICION DE CONCAVIDAD HACIA  ARRIBA
Se dice que la grafica de una función es cóncava hacia arriba en el punto (c, f(c)) si existen f´´(c) y un intervalo abierto l que contiene a c talque para todos los valores de x ≠ c en l, el punto (x,f(x))  de la grafica esta arriba de la recta tangente ala grafica  en (c,f(c))

DEFINICION DE CONCAVIDAD  HACIA ABAJO
Se dice que la grafica de una función es cóncava hacia abajo en el punto (c, f(c)) si existen f´´(c) y un intervalo abierto l que contiene a c talque para todos los valores de x ≠ c en l, el punto (x,f(x))  de la grafica esta debajo de la recta tangente ala grafica  en (c,f(c))


TEOREMA
Sea f una función que es diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a  c . Entonces

• Si f´´(c)>0, la grafica de f es cóncava hacia arriba en (c,f(c))
•  Si f´´(c)<0, la grafica de f es cóncava hacia abajo en (c,f(c))

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea c un numero critico de una función f en el que f´´(c) = 0, y suponga que f´´ existe  para todos los valores  de x en un intervalo abierto que contiene a (c)

Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)³ − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2) 

Fuentes de chicles y chocolates:http://www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html

https://sites.google.com/a/uvp.edu.mx/matematicaslll/3-comportamiento-de-las-funciones-de-sus-graficas-valore-extremos-y-aproximacion/3-5-concavidad-puntos-de-inflexion-y-criterio-de-la-segunda-derivada