Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Ahora si les bah a caer la gorda

MAXIMOS Y MINIMOS

1. (UTILIDAD MAXIMA) Una empresa vende todas las unidades producidas a $4.00 cada una. El gasto total de la empresa G por producir x unidades esta dado en dólares por 

G=50+1.3x+0.001x²

a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función x.

b) Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad P sea máxima.

c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

P=4
C=50+1.3x+0.001x²

A) P=4x-50-1.3x-0.001x²≠

P=2.7x-50-0.001x²

P'(x)=0.002x-2.7 2.7 0.002
=x
B) x=1350≠
P=2.7 (1350)-0.001(1350)2 -50
C) P=1,772.50 ≠
2. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar cierto artículo es 
C=5+48x+3x2 
En donde x es el número de artículos producidos. Encuentre el valor mínimo de C.
C=5+48x+3x2
C=5+48x-1+3x2
C'=48x2+6x O=6x- 48x2
6x(x2)=48
x3= 486
X=2 ≠
C=5+482+3(2)2
C=5+482+3(4) C=41≠
C es 41 cuando x=2
3. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos de cierto producto es:
C (x) =4000+3x+10-3x2 Determine el valor de x que hace del costo promedio por artículo un mínimo.
C(x)=4000+3x+0.001x2 
Cx=4000x+ 3xx+ 0.001x2x
C(x)=4000x-1+3+0.001x
C'x=-4000x-2+0.001
C'(x)=-4000x2+0.001
-4000x2+0.001=0
-0.001(x2)=4000
0.001(x2)=4000

x= 210000.001

x= 2000
4. (Utilidad máxima) En el ejercicio anterior, los artículos en cuestión se venden a $8.00 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la utilidad máxima.
C(x)=4000+3x+0.001x2 
I=8x G=8x - 4000-3x - 0.001x2 
G=5x – 4000 - 0.001x2 
G'=5 - 0.002x
50.002=x
X=2500
G=5(2500) – 4000 – 0.001 (2500)2

=12500 – 4000 – 6250
G=2250

A corto plazo algunos costos son fijos y algunos son variables. Los COSTOS TOTALES (CT) son equivalentes a la suma de los costos variables totales (CV) más costos fijos totales (CF).

CT = CF + CV

COSTOS FIJOS:

Los costos fijos no varían de acuerdo con el volumen de producción. Son constantes. Por ejemplo: alquileres, salario de gerentes, etc.

COSTOS VARIABLES:

Los costos variables dependen del volumen de producción. Por ejemplo: materias primas, salarios de mano de obra directa, etc.

La forma de la gráfica de costos variables se debe a los rendimientos marginales decrecientes.

De acuerdo con lo anterior los costos totales quedan de la manera siguiente:

COSTO PROMEDIO O COSTO MEDIO (CMe) son los costos por unidad de producción. Los costos medios totales se calculan como el costo total entre la cantidad producida.

La curva de costo medio total a corto plazo es en forma de U, debido a que la disminución de los costos fijos promedio hace que los costos disminuyan a niveles bajos de producción. En niveles de producción más elevados, el marcado aumento en los costos variables promedio anula el efecto de la disminución de los costos fijos.

COSTO VARIABLE MEDIO (CVMe) son los costos variables unitarios, es decir, los costos variables totales dividos entre el número de unidades producidas.

COSTO MARGINAL (CM) es el costo extra de producir una unidad adicional de producto. Se calcula como:

1. El costo marginal se origina a medida que aumenta la producción, ya sea inmediatamente o en niveles bajos de producción si los rendimientos decrecientes aparecen con alguna demora.
2. Cuando los costos marginales son inferiores a los costos promedio, los costos medios están bajando; cuando los costos marginales son superiores a los costos medios, los costos medios están aumentando; cuando los costos marginales son iguales a los costos medios, los costos medios están en su punto mínimo.
3. La curva del costo marginal cruza la curva del costo promedio total y la curva del costo variable promedio en sus puntos mínimos.

 

Ejemplo numérico: Suponga que una empresa contrata factor fijo al precio de ¢2 por unidad y factor variable al precio de ¢3 por unidad y se conoce que puede producir, dada la tecnología, de acuerdo con la siguiente tabla:

 

 

Fuentes: http://alanivansanchezreyes.blogspot.mx/2015/05/55-optimizacion-de-funciones-economico.html

http://alejandragomezmorales.blogspot.mx/2015/05/55-optimizacion-de-funciones-economico.html