Todos sean Bienvenidos al blog mas sensual y matematico del semestre
relajense y dejense llevar por el saber mas sobre las matematicas
puesto que esto servira para ayudar a futuras generaciones llevandolas a un entendimiento mas exquicito en cuanto aprender se refiere muy bien date una vuelta y no olvides dejar tu comentario
Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas
variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de
ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco
sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden
producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las
cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria.
La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que
varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento.
Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si
el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.
Los factores que influyen en que la demanda de un bien sea más o menos
elástica son:
1) Tipo de necesidades que satisface el bien. Si el bien es de
primera necesidad la demanda es inelástica, se adquiere sea cual sea el precio; en cambio
si el bien es de lujo la demanda será elástica ya que si el precio aumenta un poco
muchos consumidores podrán prescindir de él.
2) Existencia de bienes sustitutivos. Si existen buenos
sustitutos la demanda del bien será muy elástica. Por ejemplo, un pequeño aumento en el
precio del aceite de oliva puede provocar que un gran número de amas de casa se decida
por usar el de girasol.
3) Importancia del bien en términos de coste. Si el gasto en
ese bien supone un porcentaje muy pequeño de la renta de los individuos, su demanda será
inelástica. Por ejemplo, el lápiz. Las variaciones en su precio influyen muy poco en las
decisiones de los consumidores que desean adquirirlos.
4) El paso del tiempo. Para casi todos los bienes, cuanto mayor
sea el período de tiempo considerado mayor será la elasticidad de la demanda. Puede ser
que al aumentar el precio de la gasolina, su consumo no varíe mucho, pero al pasar el
tiempo podrá ser substituida en algunos de sus usos por el carbón, en otros usos por el
alcohol, de forma que la disminución en la demanda sólo se nota cuando pasa el tiempo.
5) El precio. finalmente hay que tener en cuenta que la
elasticidad de la demanda no es la misma a lo largo de toda la curva. Es posible que para
precios altos la demanda sea menos elástica que cuando los precios son más bajos o al
revés, dependiendo del producto de que se trate.
ELASTICIDAD INGRESO DE LA DEMANDA La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a
veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la
renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un
bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.
De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como: • Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente
de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan
los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también
aumenta. Pueden ser: • Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es
mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la
demanda crece en una proporción mayor. • Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es
positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor
aumentan, la demanda crece en una proporción menor. • Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad
ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor
aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor
puede optar por otros productos de mayor calidad.
Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser
de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos
de ingreso.
1.
(UTILIDAD MAXIMA) Una empresa vende todas las unidades producidas a
$4.00 cada una. El gasto total de la empresa G por producir x unidades
esta dado en dólares por
G=50+1.3x+0.001x²
a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función x.
b) Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad P sea máxima.
c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?
P=4 C=50+1.3x+0.001x²
A) P=4x-50-1.3x-0.001x²≠
P=2.7x-50-0.001x²
P'(x)=0.002x-2.72.70.002 =x B) x=1350≠ P=2.7 (1350)-0.001(1350)2 -50 C) P=1,772.50 ≠ 2. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar cierto artículo es C=5+48x+3x2 En donde x es el número de artículos producidos.Encuentre el valor mínimo de C. C=5+48x+3x2 C=5+48x-1+3x2 C'=48x2+6xO=6x- 48x2 6x(x2)=48 x3= 486 X=2 ≠ C=5+482+3(2)2 C=5+482+3(4)C=41≠ C es 41 cuando x=2 3. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos de cierto producto es: C (x) =4000+3x+10-3x2Determine el valor de x que hace del costo promedio por artículo un mínimo. C(x)=4000+3x+0.001x2 Cx=4000x+ 3xx+ 0.001x2x C(x)=4000x-1+3+0.001x C'x=-4000x-2+0.001 C'(x)=-4000x2+0.001 -4000x2+0.001=0 -0.001(x2)=4000 0.001(x2)=4000 x= 210000.001 x= 2000 4.
(Utilidad máxima) En el ejercicio anterior, los artículos en cuestión
se venden a $8.00 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la
utilidad y calcule la utilidad máxima. C(x)=4000+3x+0.001x2 I=8xG=8x - 4000-3x - 0.001x2 G=5x – 4000 - 0.001x2 G'=5 - 0.002x 50.002=x X=2500 G=5(2500) – 4000 – 0.001 (2500)2 =12500 – 4000 – 6250 G=2250
A corto plazo algunos costos son fijos y algunos son variables. Los COSTOS TOTALES (CT) son equivalentes a la suma de los costos variables totales (CV) más costos fijos totales (CF).
CT = CF + CV
COSTOS FIJOS:
Los
costos fijos no varían de acuerdo con el volumen de producción. Son
constantes. Por ejemplo: alquileres, salario de gerentes, etc.
COSTOS VARIABLES:
Los costos variables dependen del volumen de producción. Por ejemplo: materias primas, salarios de mano de obra directa, etc.
La forma de la gráfica de costos variables se debe a los rendimientos marginales decrecientes.
De acuerdo con lo anterior los costos totales quedan de la manera siguiente:
COSTO PROMEDIO O COSTO MEDIO(CMe) son los costos por unidad de producción. Los costos medios totales se calculan como el costo total entre la cantidad producida.
La curva de costo medio total a corto plazo es
en forma de U, debido a que la disminución de los costos fijos promedio
hace que los costos disminuyan a niveles bajos de producción. En
niveles de producción más elevados, el marcado aumento en los costos
variables promedio anula el efecto de la disminución de los costos
fijos.
COSTO VARIABLE MEDIO (CVMe) son los costos variables unitarios, es decir, los costos variables totales dividos entre el número de unidades producidas.
COSTO MARGINAL(CM) es el costo extra de producir una unidad adicional de producto. Se calcula como:
El
costo marginal se origina a medida que aumenta la producción, ya sea
inmediatamente o en niveles bajos de producción si los rendimientos
decrecientes aparecen con alguna demora.
Cuando
los costos marginales son inferiores a los costos promedio, los costos
medios están bajando; cuando los costos marginales son superiores a los
costos medios, los costos medios están aumentando; cuando los costos
marginales son iguales a los costos medios, los costos medios están en
su punto mínimo.
La
curva del costo marginal cruza la curva del costo promedio total y la
curva del costo variable promedio en sus puntos mínimos.
Ejemplo numérico: Suponga
que una empresa contrata factor fijo al precio de ¢2 por unidad y
factor variable al precio de ¢3 por unidad y se conoce que puede
producir, dada la tecnología, de acuerdo con la siguiente tabla:
La segunda derivada, igual que la primera derivada,
proporciona información acerca del comportamiento de una función y su grafica. DEFINICION DE CONCAVIDAD HACIA ARRIBA Se dice que la grafica de una función es cóncava hacia
arriba en el punto (c, f(c)) si existen f´´(c) y un intervalo abierto l que
contiene a c talque para todos los valores de x ≠ c en l, el punto
(x,f(x)) de la grafica esta arriba de la
recta tangente ala grafica en (c,f(c)) DEFINICION DE CONCAVIDAD
HACIA ABAJO Se dice que la grafica de una función es cóncava hacia abajo
en el punto (c, f(c)) si existen f´´(c) y un intervalo abierto l que contiene a
c talque para todos los valores de x ≠ c en l, el punto (x,f(x)) de la grafica esta debajo de la recta
tangente ala grafica en (c,f(c)) TEOREMA Sea f una función que es diferenciable en algún intervalo
abierto que contiene a c . Entonces
Si f´´(c)>0, la grafica de f es cóncava hacia
arriba en (c,f(c))
Si f´´(c)<0, la grafica de f es cóncava hacia
abajo en (c,f(c))
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea c un numero critico de una función f en el que f´´(c) =
0, y suponga que f´´ existe para todos
los valores de x en un intervalo abierto
que contiene a (c)
Cálculo de los puntos de inflexión
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Fuentes de chicles y chocolates:http://www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html
En el siguiente teorema se
establece cómo determinar los valores máximos y los valores
mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que
crece o decrece la función.
Teorema
4
Sea f una función continua en un intervalo cerrado , que
es derivable en todo punto del intervalo abierto .
Sea c en tal que o no existe.
a.
Si es positiva para todo , y negativa para todo , entonces
es un valor máximo relativo de .
b.
Si es negativa para toda , y positiva para
toda , entonces es un mínimo relativo de .
c.
Si es positiva para todo y también lo es
para todo ; o si es negativa para todo y a su
vez para todo , entonces no es un valor máximo
relativo ni un valor mínimo relativo de .
Definición:
Si
un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como
un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.
1) Halla f’(x) (la derivada de f).
2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a
cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la
derivada no existe (es decir, no está definida).
3) Evalua cada número crítico c en la función
f para obtener los puntos críticos.
4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior
(3) en el plano cartesiano.
5) Determina en qué intervalo la función es
creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir,
usa el teorema).
6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en
el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde
la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual
a cero.
Psssst toma el video y gastalo no se lo digas a tu mama
Los extremos relativos se obtienen
derivando la función a estudiar e igualando la primera derivada a cero,
despejamos la variable,normalmente se llama x, y en caso de que exista
solución, esos valores de la x constituyen la coordenada x del punto de
los extremos relativos. Lo que no sabemos aún es si son máximos o
mínimos, pero son extremos relativos sin ninguna duda. Para poder
discernir que tipo de extremos son usaremos el criterio de la segunda
derivada.
Los extremos absolutos se calculan
usando el “desconocido” Teorema de los valores extremos. Este teorema
dice : `Toda función contínua en un intervalo cerrado tiene extremos
absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto).´ Es decir, el teorema
garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua
en un intervalo cerrado pero no dice cómo determinarlos, en los vídeos
lo veremos de forma fácil y sencilla.
Son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma
una función en un punto situado ya sea dentro de una región en
particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo..
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, .
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b].
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b].
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)
![$[a,b]$](https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/img2.gif){kind=small}
, que
es derivable en todo punto del intervalo abierto ![$]a,b[$](https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/img10.gif){kind=small}
.
o 
no existe.
es positiva para todo 
, y negativa para todo 
, entonces 
es un valor máximo relativo de 
.
.
.
